Question

3．設(shè)實(shí)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，a＞0，己知有三個(gè)互不相同的整數(shù)n₁，n₂，n₃使得|f（n_i）|≤100，i=1，2，3，求證：
（1）存在實(shí)數(shù)x₀，滿足：|f（x₀）|≤100且|f（x₀+1）|≤100．
（2）a≤200．

Answer 1

分析 （1）不妨設(shè)n₁＜n₁+1≤n₂＜n₂+1≤n₃，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可證明，
（2）當(dāng)R存在三個(gè)整數(shù)使得|f（n_i）|≤100時(shí)，a取得最大值，不妨設(shè)連續(xù)整數(shù)分別為x₁-1，x₁，x₁+1，由二次函數(shù)圖象可令f（x₁-1）＞0，f（x₁）＜0，f（x₁+1）≥0，
分別代入，構(gòu)造不等式組，解得即可．

解答 解：（1）∵n₁，n₂，n₃∈Z，
∴不妨設(shè)n₁＜n₁+1≤n₂＜n₂+1≤n₃，
∵f（x）=ax²+bx+c，a＞0，開口向上，
若-$\frac{2a}$∈[n₁，n₂]，則f（x）在[n₁，n₂]上單調(diào)遞增，
又|f（n₂）|≤100，|f（n₃）|≤100，
∴|f（n₂+1）|≤100，
同理當(dāng)-$\frac{2a}$∈[n₂，n₃]，亦可證|f（n₃+1）|≤100，
∴存在實(shí)數(shù)x₀滿足，|f（x₀）|≤100，|f（x₀+1）|≤100，
（2）當(dāng)R存在三個(gè)整數(shù)使得|f（n_i）|≤100時(shí)，a取得最大值，不妨設(shè)連續(xù)整數(shù)分別為x₁-1，x₁，x₁+1，
由二次函數(shù)圖象可令f（x₁-1）＞0，f（x₁）＜0，f（x₁+1）≥0，
則f（x₁-1）=a（x₁-1）²+6（x₁-1）+c≤100，①
f（x₁）=ax₁²+6x₁+c≥-100，②
a（x₁+1）²+6（x₁+1）+c≤100，③，
①-②得-2ax₁+a-6≤200，④，
③-②得2ax₁+a+6≤200，⑤，
④+⑤得2a≤400，
即a≤200得證

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及不等式組的解法，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，屬于難題