Question

18．如果存在常數(shù)A，對于數(shù)列{a_n}中任意一項a_i（i∈N^*），A-a_i也是數(shù)列{a_n}中的一項，稱數(shù)列{a_n}具有D性質，常數(shù)A是它的D性系數(shù)．
（I）若數(shù)列：2，3，6，m（m＞6）具有D性質，且它的D性系數(shù)為A，求m和A的值．
（II）已知等差數(shù)列{b_n}共有101項，所有項之和是S，求證：數(shù)列{b_n}具有D性質，并用S表示它的D性系數(shù)．
（III）對于一個不少于3項，且各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列{c_n}，能否同時滿足：①對于任意的正整數(shù)i，j，當i＜j有，有c_i＜c_j；②具有D性質．請給出你的結論，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)數(shù)列：2，3，6，m（m＞6）具有D性質，且它的D性系數(shù)為A，所以A-m，A-6，A-3，A-2也是該數(shù)列的項，且A-m＜A-6＜A-3＜A-2，由此可求m和A的值；
（Ⅱ）由“數(shù)列具有D性質”的定義證明數(shù)列{b_n}是“數(shù)列具有D性質”，即證對數(shù)列{b_n}中的任意一項b_i（1≤i≤101），A-b_i=b₁+（101-i）d=b_102-i∈{b_n}，從而可求數(shù)列{b_n}所有項之和；
（Ⅲ）假設存在這樣的等比數(shù)列{c_n}，設它的公比為q（q＞1），可知數(shù)列{c_n}必為有窮數(shù)列，不妨設項數(shù)為n項，則c_i+c_n+1-i=A（1≤i≤n），再分類討論，即可得到結論．

解答 （Ⅰ）解：因為2，3，6，m（m＞6）具有D性質，且它的D性系數(shù)為A，
所以A-m，A-6，A-3，A-2也是該數(shù)列的項，且A-m＜A-6＜A-3＜A-2，
故A-m=2，A-6=3，即A=9，m=7．
（Ⅱ）證明：設數(shù)列{b_n}的公差為d，
因為數(shù)列{b_n}是項數(shù)為101項的有窮等差數(shù)列
若b₁≤b₂≤b₃≤…≤b₁₀₁，則A-b₁≥A-b₂≥A-b₃≥…≥A-b₁₀₁，
即對數(shù)列{b_n}中的任意一項b_i（1≤i≤101），A-b_i=b₁+（101-i）d=b_102-i∈{b_n}
同理可得：b₁≥b₂≥b₃≥…≥b₁₀₁，A-b_i=b₁+（101-i）d=b_102-i∈{b_n}也成立，
由“數(shù)列具有D性質”的定義可知，數(shù)列{b_n}是“數(shù)列{b_n}具有D性質”；
又因為數(shù)列{b_n}所有項之和是S，所以S═$\frac{101（_{1}+_{101}）}{2}$=$\frac{101A}{2}$，即A=$\frac{2S}{101}$；
（Ⅲ）解：假設存在這樣的遞增的等比數(shù)列{c_n}，設它的公比為q（q＞1），
因為數(shù)列{c_n}為遞增數(shù)列，所以c₁＜c₂＜c₃＜…＜c_n，則A-c₁＞A-c₂＞A-c₃＞…＞A-c_n，
又因為數(shù)列{c_n}為“數(shù)列具有D性質”，則A-c_i∈{c_n}，所以A-c_i是正整數(shù)
故數(shù)列{c_n}必為有窮數(shù)列，不妨設項數(shù)為n項，則c_i+c_n+1-i=A（1≤i≤n）
①若n=3，則有c₁+c₃=A，c₂=$\frac{A}{2}$，又c₂²=c₁c₃，由此得q=1，與q＞1矛盾
②若n≥4，由c₁+c_n=c₂+c_n-1，得c₁-c₁q+c₁q^n-1-c₁q^n-2=0
即（q-1）（1-q^n-2）=0，故q=1，與q＞1矛盾；
綜合①②得，不存在滿足條件的數(shù)列{c_n}．

點評 本題考查新定義，考查學生的閱讀能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于難題．