Question

9．已知數(shù)列{a_n}：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}$，…，$\frac{1}{10}+\frac{2}{10}+\frac{3}{10}+…+\frac{9}{10}$，…，若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$，那么數(shù)列{b_n}的前n項和S_n等于（　�。�

• A． 2-$\frac{2}{n+2}$
• B． 3-$\frac{4n+6}{{n}^{2}+3n+2}$
• C． $\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{n}^{2}+3n+2}$
• D． 4-$\frac{4}{n+2}$

Answer 1

分析 由數(shù)列{a_n}：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}$，…，$\frac{1}{10}+\frac{2}{10}+\frac{3}{10}+…+\frac{9}{10}$，…，可得{a_n}的通項，即可求{b_n}的通項，利用裂項相消可得{b_n}的前n項和S_n．

解答 解：數(shù)列{a_n}：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}$，…，$\frac{1}{10}+\frac{2}{10}+\frac{3}{10}+…+\frac{9}{10}$，…，
可得{a_n}的通項a_n=$\frac{1+2+3+…n}{n+1}=\frac{n}{2}$．
∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$，
∴$_{n}=\frac{1}{\frac{n}{2}•\frac{n+2}{2}}$=$\frac{4}{n（n+2）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$）．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=2（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{4}$$+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$）
=2（$\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$）
=3-$\frac{4n+6}{{n}^{2}+3n+2}$
故選B

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．