Question

13．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，右焦點F（1，0）．
（1）求橢圓方程；
（2）過F作斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點，P為橢圓上一動點，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓基礎(chǔ)定義與基本參數(shù)意義即可列出方程式；
（2）設(shè)h：y=x+m與橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相切，聯(lián)立得：9x²+10mx+5m²-10=0；
即h：y=x+3時直線l與h的距離d=$\frac{4}{\sqrt{2}}$，橢圓上動點P到直線L：y=x-1的最大距離，即為△PAB高的最大值；

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}}\\{c=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=5}\\{^{2}=4}\end{array}\right.$，則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）設(shè)h：y=x+m與橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相切，聯(lián)立得：9x²+10mx+5m²-10=0；
∴△=0 得：m²=9，當(dāng)m=3時，即h：y=x+3時直線l與h的距離d=$\frac{4}{\sqrt{2}}$，
即為橢圓上動點P到直線L：y=x-1的最大距離，亦即為△PAB高的最大值，
∴S_△PAB max=$\frac{1}{2}$|AB|d_max=$\frac{1}{2}×\frac{16\sqrt{5}}{9}×\frac{4}{\sqrt{2}}$=$\frac{16\sqrt{10}}{9}$．

點評 本題主要考查了橢圓基本定義與參數(shù)，以及直線與橢圓關(guān)系綜合知識點，屬中等題．