Question

13．如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′，E，F，G分別是A′C′，BC與B′C′的中點，且AA′=$\sqrt{3}$，BC=2，AC=4．平面ABGE⊥平面BCC′B′．
（Ⅰ）求證：AB⊥BC；
（Ⅱ）求平面ABE與平面EFC′所成角的平面角的余弦值的絕對值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知GB是平面ABGE與平面BCC′B′的交線，在平面BCC′B′中過點C作GB的垂線，垂足為H，推導出AB⊥CH，AB⊥CC′，從而AB⊥平面BCC′B′，由此能證明AB⊥BC．
（Ⅱ）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB′為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面ABE與平面EFC′所成角的平面角的余弦值的絕對值．

解答 證明：（Ⅰ）由題意知GB是平面ABGE與平面BCC′B′的交線，如圖，
在平面BCC′B′中過點C作GB的垂線，垂足為H，即GB⊥CH，
又由于平面ABGE⊥平面BCC′B′，
∴CH⊥平面ABGE，則AB⊥CH，①
∵三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱，
∴CC′⊥平面ABC，∴AB⊥CC′，②
又由CC′∩CH=C及①②，得AB⊥平面BCC′B′，
∴AB⊥BC．
解：（Ⅱ）∵二棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱且AB⊥BC，
∴以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB′為z軸，建立空間直角坐標系，
∵BC=2，AC=4，∴AB=2$\sqrt{3}$，
又AA′=$\sqrt{3}$，則B（0，0，0），A（2$\sqrt{3}$，0，0），E（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），F（0，1，0），C′（0，2，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{BA}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{BE}$=（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{C}^{'}E}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），$\overrightarrow{{C}^{'}F}$=（0，-1，-$\sqrt{3}$），
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面ABE的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=2\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=\sqrt{3}x+y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=-1，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}，-1$），
設$\overrightarrow{m}$=（a，b，c）是平面EFC′的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}^{'}E}=\sqrt{3}a-b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}^{'}F}=-b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，-1，
設平面ABE與平面EFC′所成角的平面角為θ，
則|cosθ|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴平面ABE與平面EFC′所成角的平面角的余弦值的絕對值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的絕對值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．