Question

6．求下列動點的軌跡方程：
（1）設圓C：（x-1）²+y²=1過原點O作圓的任意弦，求所作弦的中點的軌跡方程；
（2）在平面直角坐標系xOy中，點M到點F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1．記點M的軌跡為C，求軌跡C的方程．

Answer 1

分析 （1）注意到∠OPC=90°，動點P在以M（$\frac{1}{2}$，0）為圓心，OC為直徑的圓上，故可以求出圓心與半徑，寫出圓的標準方程；
（2）設動點M的坐標為（x，y），根據(jù)動點M到點F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，建立方程，化簡可得點M的軌跡C的方程．

解答 解：（1）∵∠OPC=90°，動點P在以M（$\frac{1}{2}$，0）為圓心，OC為直徑的圓上，
∴所求點的軌跡方程為：（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=1（0＜x≤1）；
（2）設動點M的坐標為（x，y），
由題意，∵動點M到點F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=|x|+1；
化簡得y²=4x（x≥0）或y=0（x≤0），
∴點M的軌跡C的方程為y=4x（x≥0）或y=0（x＜0）．

點評 本題考查軌跡方程，考查了學生數(shù)形結合的思想和分析推理能力，是中檔題．