Question

10．已知函數(shù)$f（x）=xlnx-\frac{a}{2}{x^2}+1$．
（1）若y=f（x）在（0，+∞）恒單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），求a的取值范圍并證明x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$a≥{（\frac{lnx+1}{x}）_{max}}x∈（0，+∞）$，令$g（x）=\frac{lnx+1}{x}x∈（0，+∞）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可；
（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令F（x）=f'（x）=lnx-ax+1，求出函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍求出a的范圍，證明即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒'（x）=lnx-ax+1（x＞0），
所以由f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立得$a≥{（\frac{lnx+1}{x}）_{max}}x∈（0，+∞）$，
令$g（x）=\frac{lnx+1}{x}x∈（0，+∞）$，易知g（x）在（0，1）單調(diào)遞增（1，+∞）單調(diào)遞減，
所以a≥g（1）=1，
即得：a≥1…（5分）
（2）函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），
即y=f'（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且均為正，f'（x）=lnx-ax+1（x＞0），
令F（x）=f'（x）=lnx-ax+1，由$F'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}（x＞0）$可知
1）a≤0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．
2）a＞0時(shí)，y=F（x）在$（0，\frac{1}{a}）$是增函數(shù)在$（\frac{1}{a}，+∞）$是減函數(shù)，
此時(shí)$f（\frac{1}{a}）$為函數(shù)的極大值，也是最大值．
當(dāng)$F（\frac{1}{a}）≤0$時(shí)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，所以$F（\frac{1}{a}）=ln\frac{1}{a}＞0$才可能有兩個(gè)零點(diǎn)，
得：0＜a＜1…（7分）
此時(shí)又因?yàn)?\frac{1}{e}＜\frac{1}{a}＜\frac{e^2}{a^2}$，$F（\frac{1}{e}）=-\frac{a}{e}＜0$，$F（\frac{e^2}{a^2}）=3-2lna-\frac{e^2}{a}（0＜a＜1）$，
令$φ（a）=3-2lna-\frac{e^2}{a}，φ'（a）=-\frac{2}{a}+\frac{e^2}{a^2}=\frac{{{e^2}-2a}}{a^2}＞0$，φ（a）在（0，1）上單調(diào)遞增，
所以φ（a）＜φ（1）=3-e²，即$φ（\frac{e^2}{a^2}）＜0$
綜上，所以a的取值范圍是（0，1）…（8分）
下面證明x₁+x₂＞2
由于y=F（x）在$（0，\frac{1}{a}）$是增函數(shù)在$（\frac{1}{a}，+∞）$是減函數(shù)，$0＜{x_1}＜\frac{1}{a}$，可構(gòu)造出$\frac{2}{a}-{x_1}＞\frac{1}{a}$
構(gòu)造函數(shù)  $m（x）=F（\frac{2}{a}-x）-F（x）=ln（\frac{2}{a}-x）-a（\frac{2}{a}-x）-（lnx-ax）（0＜x≤\frac{1}{a}）$
則$m'（x）=\frac{1}{{x-\frac{2}{a}}}-\frac{1}{x}+2a=\frac{{2a{{（x-\frac{1}{a}）}^2}}}{{x（x-\frac{2}{a}）}}＜0$，故m（x）在區(qū)間$（0，\frac{1}{a}]$上單調(diào)減．又由于$0＜{x_1}＜\frac{1}{a}$，
則$m（{x_1}）＞m（\frac{1}{a}）=0$，即有m（x₁）＞0在$（0，\frac{1}{a}）$上恒成立，即有$F（\frac{2}{a}-{x_1}）＞F（{x_1}）=F（{x_2}）$成立．
由于${x_2}＞\frac{1}{a}$，$\frac{2}{a}-{x_1}＞\frac{1}{a}$，y=F（x）在$（\frac{1}{a}，+∞）$是減函數(shù)，所以${x_2}＞\frac{2}{a}-{x_1}$
所以${x_1}+{x_2}＞\frac{2}{a}＞2$成立                                          …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．