Question

2．參加成都七中數(shù)學(xué)選修課的同學(xué)，對(duì)某公司的一種產(chǎn)品銷量與價(jià)格進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)和散點(diǎn)圖：

定價(jià)x（元/kg）	10	20	30	40	50	60
年銷量y（kg）	1150	643	424	262	165	86
z=2lny	14.1	12.9	12.1	11.1	10.2	8.9

（參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^6{（{x_i}-\overline x）}•（{y_i}-\overline y）=-34580$，$\sum_{i=1}^6{（{x_i}-\overline x）}•（{z_i}-\overline z）=-175.5$$\sum_{i=1}^6{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}=776840$，$\sum_{i=1}^6{（{y_i}-\overline y）}•（{z_i}-\overline z）=3465.2$）
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y與x，z與x哪一對(duì)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）？
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（方程中的系數(shù)均保留兩位有效數(shù)字）．
（3）定價(jià)為多少元/kg時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x_n，y_n），其回歸直線$\widehat{y}$=$\widehat$•x+$\widehat{a}$的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）•（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n•\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n•\stackrel{-2}{x}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-n•$\widehat$•$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）由散點(diǎn)圖可知：z與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性；
（2）求得樣本中心點(diǎn)（$\overline{x}$，$\overline{y}$），則$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{6}（{x}_{1}-\overline{x}）（{z}_{i}-\overline{z}）}{\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{-175.5}{1750}$≈-0.10，由$\widehat{a}$=$\overline{z}$-$\widehat$•$\overline{x}$=15.05≈15，即可求得線性回歸方程，則；
（3）年利潤(rùn)L（x）=x•$\widehat{z}$=x•${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$，求導(dǎo)，令L′（x）=0，即可求得年利潤(rùn)L（x）的最大值．

解答 解：（1）由散點(diǎn)圖可知：z與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性；
（2）由$\overline{x}$=$\frac{10+20+30+40+50+60}{6}$=35，$\overline{z}$=$\frac{14.1+12.9+12.1+11.1+10.2+8.9}{6}$=11.55，
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{6}（{x}_{1}-\overline{x}）（{z}_{i}-\overline{z}）}{\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{-175.5}{1750}$≈-0.10，
由$\widehat{a}$=$\overline{z}$-$\widehat$•$\overline{x}$=15.05≈15，
$\widehat{z}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$=15-0.10x，
線性回歸方程為：$\widehat{z}$=15-0.10x，則y關(guān)于x的回歸方程$\widehat{y}$=${e}^{\frac{\overline{z}}{2}}$=${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$，
∴y關(guān)于x的回歸方程$\widehat{y}$=${e}^{\frac{\overline{z}}{2}}$=${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$；
（3）年利潤(rùn)L（x）=x•$\widehat{y}$=x•${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$，
求導(dǎo)L′（x）=${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$•（1-x•$\frac{0.10}{2}$），
令導(dǎo)L′（x）=0，解得：x=20，
由函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)x=20時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大，
∴定價(jià)為20元/kg時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程的應(yīng)用，考查利用最小二乘法求線性回歸方程，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．