Question

18．已知定義域為R的函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$是奇函數(shù)．
（1）求a的值．
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并用定義證明．

Answer 1

分析 （1）由條件利用f（0）=0，求得a的值．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明f（x）在R上是減函數(shù)．

解答 解：（1）∵定義域為R的函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$是奇函數(shù)，∴f（0）=$\frac{a-1}{2}$=0，∴a=1．
（2）由a=1，可得函數(shù)f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$為減函數(shù)．
證明：設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（-1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（-1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{2{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）•{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，∴$\frac{2{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）•{（2}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性的定義，屬于基礎(chǔ)題．