Question

8．已知圓C：x²+y²+2x-4y-20=0
（Ⅰ）求圓C的圓心坐標(biāo)及半徑；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)A（-4，0），且被圓C截得的弦長(zhǎng)為8，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求圓C的圓心坐標(biāo)及半徑；
（Ⅱ）根據(jù)直線和圓相交的弦長(zhǎng)計(jì)算圓心到直線的距離即可．

解答 解：（Ⅰ）圓C：（x+1）²+（y-2）²=25
圓心C（-1，2）半徑r=5
（Ⅱ）圓心到直線的距離d=$\sqrt{25-16}$=3．
若直線斜率不存在，則直線方程為x=-4，此時(shí)圓心到直線的距離d=-1+4=3，滿足條件，
直線斜率k存在設(shè)l：y=k（x+4），
∵被圓C截得的弦長(zhǎng)為8，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{{|{-k-2+4k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=3$，
∴$k=-\frac{5}{12}$，∴l(xiāng)：5x+12y+20=0．
綜上所述，l：5x+12y+20=0或x=-4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓相交的應(yīng)用以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．