【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的一個上界.已知函數(shù), .
(1)若函數(shù)為奇函數(shù),求實數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合;
(3)若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2)上界構(gòu)成集合為;(3)實數(shù)的取值范圍為.
【解析】試題分析:(1),即,得;(2)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以值域為,所以所有上界構(gòu)成集合為;(3)在上恒成立,分離參數(shù)得在上恒成立,所以的取值范圍為.
試題解析:
(1)因為函數(shù)為奇函數(shù),
所以,即,
即,得,而當(dāng)時不合題意,故.
(2)由(1)得: ,
易知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為,
所以,故函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成集合為.
(3)由題意知, 在上恒成立.
, .
∴在上恒成立.
∴
設(shè), , ,由得,
設(shè), ,
,
所以在上遞減, 在上遞增,
在上的最大值為, 在上的最小值為.
所以實數(shù)的取值范圍為.
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【題目】正方形的棱長為1,點分別是棱的中點.
(Ⅰ)求二面角的余弦值;
(Ⅱ)以為底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面三個頂點也都在該正方體的表面上,求這個正三棱柱的高.
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【題目】某食品企業(yè)一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)用表示.據(jù)統(tǒng)計,隨機變量的概率分布如下表所示.
0 | 1 | 2 | 3 | |
0.1 | 0.3 |
(1)求的值和的數(shù)學(xué)期望;
(2)假設(shè)一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的概率.
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【題目】某工廠計劃出售一種產(chǎn)品,經(jīng)銷人員并不是根據(jù)生產(chǎn)成本來確定這種產(chǎn)品的價格,而是通過對經(jīng)營產(chǎn)品的零售商對于不同的價格情況下他們會進多少貨進行調(diào)查,通過調(diào)查確定了關(guān)系式P=-750x+15000,其中P為零售商進貨的數(shù)量(單位:件),x為零售商支付的每件產(chǎn)品價格(單位:元).現(xiàn)估計生產(chǎn)這種產(chǎn)品每件的材料和勞動生產(chǎn)費用為4元,并且工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總固定成本為7000元(固定成本是除材料和勞動費用以外的其他費用),為獲得最大利潤,工廠應(yīng)對零售商每件收取多少元?并求此時的最大利潤.
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【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù),且x=-1處取得極大 值2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)過點A(1,t) 可作函數(shù)f(x)圖像的三條切線,求實數(shù)t的取值范圍;
(3)若對于任意的恒成立,求實數(shù)m取值范圍.
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【題目】如圖,三棱柱中ABC﹣A1B1C1中,點A1在平面ABC內(nèi)的射影D為棱AC的中點,側(cè)面A1ACC1為邊長為2的菱形,AC⊥CB,BC=1.
(1)證明:AC1⊥平面A1BC;
(2)求二面角B﹣A1C﹣B1的大。
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ ,g(x)=2ln(x+1)+e﹣x .
(1)x∈(﹣1,+∞)時,證明:f(x)>0;
(2)a>0,若g(x)≤ax+1,求a的取值范圍.
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【題目】已知.
(1)當(dāng)=-1時,求的單調(diào)區(qū)間及值域;
(2)若在()上為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓C: 的長軸長為4,焦距為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過動點M(0,m)(m>0)的直線交x軸與點N,交C于點A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點,過點P作x軸的垂線交C于另一點Q,延長線QM交C于點B.
(i)設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、,證明為定值.
(ii)求直線AB的斜率的最小值.
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