Question

【題目】已知．

(1)當＝－1時，求的單調(diào)區(qū)間及值域；

(2)若在()上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f(x)的值域為(－∞，2－log23]．增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）

【解析】

(1) 當a＝－1時，f(x)＝log(x2＋x＋1)，log(x2＋x＋1)≤log＝2－log23，

∴f(x)的值域為(－∞，2－log23]．由對數(shù)式的真數(shù)大于0求得函數(shù)的定義域，得到內(nèi)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得答案．

(2)用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來求解，令u(x)＝x2－ax－a＝2－－a，

由“若f(x)在上為增函數(shù)，”，可知u(x)應(yīng)在上為減函數(shù)且

u(x)＞0在恒成立．再用“對稱軸在區(qū)間的右側(cè)，且最小值大于零”求解可得結(jié)果．

解　(1)當a＝－1時，f(x)＝log(x2＋x＋1)，

∵x2＋x＋1＝2＋≥，

∴log(x2＋x＋1)≤log＝2－log23，

∴f(x)的值域為(－∞，2－log23]．

∵y＝x2＋x＋1在上遞減，在上遞增，y＝logx在(0，＋∞)上遞減，

∴f(x)的增區(qū)間為，

減區(qū)間為.

(2)令u(x)＝x2－ax－a＝2－－a，

∵f(x)在上為單調(diào)增函數(shù)，

又∵y＝logu(x)為單調(diào)減函數(shù)，

∴u(x)在上為單調(diào)減函數(shù)，且u(x)＞0在上恒成立.

因此即

解得－1≤a≤.

故實數(shù)a的取值范圍是.