Question

設(shè)函數(shù)．
（1）當a=0時，求f（x）的極值；
（2）設(shè)，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）當a≠0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），當a=0時，f（x）=2lnx+，可求得f′（x）=，將f（x），f'（x）隨x變化情況列表即可求得f（x）的極值；
（2）由題意，g（x）=（2-a）lnx+2ax，在[1，+∞）上單調(diào)遞增?g′（x）=+2a≥0在[1，+∞）上恒成立，設(shè)h（x）=2ax+2-a≥0在[1，+∞）上恒成立，對a分a=0，a＞0，a＜0討論即可求得答案；
（3）由題意得，f′（x）=，令f'（x）=0得x₁=-，x₂=，對a分a＞0，a＜0（對a再分a＜-2，a=-2，-2＜a＜0）討論即可求得答案．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．…（1分）
當a=0時，f（x）=2lnx+，
∴f′（x）=-=，…（2分）
由f'（x）=0得x=，
于是，f（x），f'（x）隨x變化如下表：

x	（0，）		（，+∞）
f（x）	-		+
f'（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

故，f（x）_極小值=f（）=2-ln2，沒有極大值．…（4分）
（2）由題意，g（x）=（2-a）lnx+2ax，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g′（x）=+2a≥0在[1，+∞）上恒成立，
設(shè)h（x）=2ax+2-a≥0在[1，+∞）上恒成立，…（5分）
當a=0時，2≥0恒成立，符合題意．…（6分）
當a＞0時，h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）的最小值為h（1）=2a+2-a≥0，得a≥-2，所以a＞0…（7分）
當a＜0時，h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意
所以a≥0…（9分）
（3）由題意得，f′（x）=，
令f'（x）=0得x₁=-，x₂=，…（10分）
若a＞0，由f'（x）≤0得x∈（0，]；由f'（x）≥0得x∈[，+∞）；…（11分）
若a＜0，①當a＜-2時，0＜-＜，x∈（0，-]或x∈[，+∞），f'（x）≤0；x∈[-，]，f'（x）≥0，
②當a=-2時，f'（x）≤0；
③當-2＜a＜0時，-＞，x∈（0，]或x∈[-，+∞），f'（x）≤0；x∈[，-]，f'（x）≥0．
綜上，當a＞0時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，]，單調(diào)遞增區(qū)間為[，+∞）；
當a＜-2時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，-]，[，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為[-，]；
當a=-2時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
當-2＜a＜0時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，]，[-，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為[，-]．…（14分）
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，突出考查轉(zhuǎn)化與分類討論的數(shù)學思想，考查綜合分析與運算能力，屬于難題．