Question

8．設(shè)$\frac{2}{3}$＜a＜1，函數(shù)f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+b在區(qū)間[-1，1]上的最大值為1，最小值為-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求f（x）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 求導(dǎo)f′（x）=3x²-3ax=3x（x-a），從而確定函數(shù)f（x）在[-1，0）上是增函數(shù)，在（0，a）上是減函數(shù)，在（a，1]上是增函數(shù)；從而可得f（-1）=-1-$\frac{3}{2}$a+b=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，f（0）=b=1，從而求得．

解答 解：∵f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+b，
∴f′（x）=3x²-3ax=3x（x-a），
∴當(dāng)x∈[-1，0）時，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（0，a）時，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（a，1]時，f′（x）＞0；
∴f（x）在[-1，0）上是增函數(shù)，在（0，a）上是減函數(shù)，在（a，1]上是增函數(shù)；
而f（-1）=-1-$\frac{3}{2}$a+b，f（a）=a³-$\frac{3}{2}$a³+b，
f（a）-f（-1）=-$\frac{1}{2}$a³+$\frac{3}{2}$a+1，
令g（a）=-$\frac{1}{2}$a³+$\frac{3}{2}$a+1，則g′（a）=-$\frac{3}{2}$（a²-1）＞0，
故f（a）-f（-1）＞g（$\frac{2}{3}$）＞0，
故f（-1）=-1-$\frac{3}{2}$a+b=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
同理可得，f（0）=b=1，
解得，a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，b=1；
故f（x）=x³-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x²+1．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化思想與整體思想的應(yīng)用．