Question

13．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，則異面直線A₁C₁與AB₁間的距離為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)MN是直線A₁C₁與AB₁的公垂線，求出向量的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，A（1，0，0），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=（0，0，-1）．
設(shè)MN是直線A₁C₁與AB₁的公垂線，且$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，λ，λ），$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=μ$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-μ，μ，0），
則$\overrightarrow{MN}$=-（-μ，μ，0）+（0，0，-1）+（0，λ，λ）=（μ，λ-μ，λ-1）．
從而有$\left\{\begin{array}{l}{λ-2μ=0}\\{2λ-μ=1}\end{array}\right.$，∴λ=$\frac{2}{3}$，μ=$\frac{1}{3}$．
∴$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}$）
∴$|\overrightarrow{MN}|$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間距離的計(jì)算，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確運(yùn)用向量是關(guān)鍵．