Question

18．對于函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+{2}^{x}+{4}^{x}•a}{3}$，若f（x）在（-∞，1）上有意義，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 要使f（x）在（-∞，1）上有意義，則$\frac{1+{2}^{x}+{4}^{x}•a}{3}$＞0，即2^x+a•4^x＞-1，構造二次函數(shù)求解，利用最值求解．

解答 解：要使f（x）在（-∞，1）上有意義，即x∈（-∞，1）上2^x+a•4^x＞-1．
設2^x=t（0＜t＜2），則有：f（t）=a•t²+t+1＞0．
當a=0時，f（t）=t+1＞0，（0＜t＜2）恒成立．
故a=0．
當a＞0時，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}＞2}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0≤-\frac{2a}≤2}\\{△＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}＜0}\\{f（0）＞0}\end{array}\right.$
解得：$-\frac{3}{4}$＜$a＜-\frac{1}{4}$或$-\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{4}，a≠0$，或a＞0
∴a＞0
當a＜0時，$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，
解得：$-\frac{3}{4}＜a$
∵x∈（-∞，1）取不到1，故a=$-\frac{3}{4}$．
綜上所述：a的取值范圍在[$-\frac{3}{4}，+∞$）
解法二：分離參數(shù)
要使f（x）在（-∞，1）上有意義，即x∈（-∞，1）上2^x+a•4^x+1＞0．
設f（2^x）=2^x+a•（2^x）²+1＞0．（0＜2^x＜2），
分離化簡：a＞$-（\frac{1}{{2}^{x}}）^{2}-（\frac{1}{{x}^{2}}）$
∵$-（\frac{1}{{2}^{x}}）^{2}-（\frac{1}{{x}^{2}}）$增函數(shù)，∴（-∞，1）上的最大值小于$-\frac{3}{4}$．
所以：$-\frac{3}{4}≤a$
綜上所述：a的取值范圍在[$-\frac{3}{4}，+∞$）

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的靈活運用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．