Question

13．已知圓錐的底面半徑為R，高為2R，在它的所有內(nèi)接圓柱中，側(cè)面積的最大值是（　�。�

• A． $\frac{1}{4}π{R^2}$
• B． $\frac{1}{2}π{R^2}$
• C． πR²
• D． 2πR²

Answer 1

分析 設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r，高為h，側(cè)面積S=2πr•h；利用相似三角形，求出圓柱半徑r與高h(yuǎn)的關(guān)系，利用基本不等式即可求最大值．

解答 解：（如圖）由題意可知：OS=2R，OC=R，內(nèi)接圓柱的底面半徑為OA=r，AB=h．
∵△SOC∽△ABC
∴$\frac{OS}{OC}=\frac{AB}{AC}$
AC=R-r．
則有：$\frac{2R}{R}=\frac{h}{R-r}$
∴h=2R-2r
那么：圓柱側(cè)面積S=2πr•h=π•2r•（2R-2r）$≤π（\frac{2r+2R-2r}{2}）^{2}$=πR²
故選C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐內(nèi)接圓柱的問(wèn)題，找到圓柱與圓錐的尺寸關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．同時(shí)考查了基本不等式的運(yùn)用．屬于中檔題．