Question

14．已知點(diǎn)M（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-y+1≥0}\\{2x-y-2≤0}\end{array}\right.$，當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，若ax+by的最大值為12，則$\frac{4}{a}$+$\frac{3}$的最小值是4．

Answer 1

分析 由線性約束條件求出最優(yōu)解，代入線性目標(biāo)函數(shù)得到a+b=1，然后利用$\frac{4}{a}$+$\frac{3}$=（$\frac{4}{a}$+$\frac{3}$）（$\frac{a}{4}$+$\frac{3}$）展開整理，最后利用基本不等式求最小值．

解答 解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得：A（3，4），
顯然直線z=ax+by過A（3，4）時(shí)z取到最大值12，
此時(shí)：3a+4b=12，即$\frac{a}{4}$+$\frac{3}$=1，
∴$\frac{4}{a}$+$\frac{3}$=（$\frac{4}{a}$+$\frac{3}$）（$\frac{a}{4}$+$\frac{3}$）=2+$\frac{4b}{3a}$+$\frac{3a}{4b}$≥2+2$\sqrt{\frac{4b}{3a}•\frac{3a}{4b}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)3a=4b時(shí)“=”成立，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了利用基本不等式求最值，解答此題的關(guān)鍵是對(duì)“1”的靈活運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．