Question

15．區(qū)間[x₁，x₂]的長(zhǎng)度為x₂-x₁．已知函數(shù)y=4^|x|的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇1，4]，則區(qū)間[a，b]長(zhǎng)度的最大值與最小值之差為1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)閇0，1]；當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，0]．所以函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，1]此時(shí)長(zhǎng)度為最大等于1-（-1）=2，而[0，1]或[-1，0]都可為區(qū)間的最小長(zhǎng)度等于1，所以最大值與最小值的差為1．

解答 解：當(dāng)x≥0時(shí)，y=4^x，因?yàn)楹瘮?shù)值域?yàn)閇1，4]即1=4⁰≤4^x≤4=4¹，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的增減性得到0≤x≤1；
當(dāng)x≤0時(shí)，y=4^-x，因?yàn)楹瘮?shù)值域?yàn)閇1，4]即1=4⁰≤4^-x≤4=4¹，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的增減性得到0≤-x≤1即-1≤x≤0．
故[a，b]的長(zhǎng)度的最大值為1-（-1）=2，最小值為1-0=1或0-（-1）=1，
則區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生理解掌握指數(shù)函數(shù)定義域和值域的能力，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)圖象增減性解決數(shù)學(xué)問題的能力．