Question

8．如圖，半徑為$\frac{9}{2}$的△ABC的外接圓圓O的直徑為AB，直線CE為圓O的切線且相切于點C，AD⊥CE于點D，AD=1．
（1）求證：△ABC相似于△ACD；
（2）求AC的長．

Answer 1

分析 （1）利用已知可得△ABC，△ACD為直角三角形，利用圓周角定理可得∠ABC=∠ACD，從而可證△ABC∽△ACD．
（2）由（1）可得△ABC∽△ACD，利用相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，進而即可解得AC的值．

解答 解：（1）證明：∵AB是圓O的直徑，
∴BC⊥AC，
∴△ABC直角三角形，
∴△ACD為直角三角形，∵直線CE與圓O相切于點C
∴∠ABC=∠ACD，
∴△ABC∽△ACD，得證．
（2）∵由（1）可得△ABC∽△ACD．
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴AC²=AB•AD，
∵AB=9，AD=1，
∴AC²=9，解得AC=3．

點評 本題主要考查了相似三角形，直線，圓等初等幾何知識，考查了邏輯思維能力，運算能力，屬于中檔題．