Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+mx-1，m∈R．
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|-2＜x＜n}，求實(shí)數(shù)m，n的值；
（2）若對(duì)于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，根據(jù)不等式與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出m、n的值；
（2）根據(jù)題意得出$\left\{\begin{array}{l}{f（m）＜0}\\{f（m+1）＜0}\end{array}\right.$，解不等式組即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，關(guān)于x的不等式x²+mx-1＜0的解集是{x|-2＜x＜n}，
所以方程x²+mx-1=0的實(shí)數(shù)根為-2和n，
由根與系數(shù)的關(guān)系得$\left\{\begin{array}{l}{-2+n=-m}\\{-2×n=-1}\end{array}\right.$，
m=$\frac{3}{2}$，n=$\frac{1}{2}$；
（2）對(duì)于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，
可得$\left\{\begin{array}{l}{f（m）={2m}^{2}-1＜0}\\{f（m+1）={2m}^{2}+3m＜0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜m＜0，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是基礎(chǔ)題目．