Question

下列3個(gè)命題中：
①α∈（0，

π

2

）時(shí)，sinα+cosα＞1；
②α∈（0，

π

4

）時(shí)，sinα＜cosα；
③α∈（

5π

4

，

3π

2

）時(shí)，sinα＞cosα．
其中判斷正確的序號(hào)是

 

（將正確的都填上）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①，α∈（0，

π

2

）⇒α+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

）⇒sin（α+

π

4

）∈（

2

2

，1]，利用輔助角公式可得sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）＞1，可判斷①；
②α∈（0，

π

4

）⇒

π

2

-α∈（

π

4

，

π

2

），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷②；
③α∈（

5π

4

，

3π

2

）⇒α-

π

4

）∈（π，

5π

4

）⇒sin（α-

π

4

）＜0，繼而可判斷③．

解答： 解：①，當(dāng)α∈（0，

π

2

）時(shí)，α+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
sin（α+

π

4

）∈（

2

2

，1]，

2

sin（α+

π

4

）∈（1，

2

]，
∴sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）＞1，即①正確；
②，α∈（0，

π

4

）時(shí)，

π

2

-α∈（

π

4

，

π

2

），
sinα＜sin（

π

2

-α）=cosα，即②正確；
③α∈（

5π

4

，

3π

2

）時(shí)，（α-

π

4

）∈（π，

5π

4

），sin（α-

π

4

）＜0．
∴sinα-cosα=

2

sin（α-

π

4

）＜0，即sinα＜cosα，故③錯(cuò)誤．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查輔助角公式的應(yīng)用，突出轉(zhuǎn)化思想的考查．