Question

已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=

1

2

λf′（x）+sinx，其中函數(shù)g（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，若g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，代入g（x）化簡(jiǎn)，利用g（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，得其導(dǎo)函數(shù)小于等于0，求得λ≤-1，再由g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為g（x）的最大值小于等于λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，得到λ≥-2sin1，從而求得λ的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=x²，
∴f′（x）=2x，代入g（x）=

1

2

λf′（x）+sinx，
得g（x）=λx+sinx，∴g'（x）=λ+cosx，
∵g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，∴g′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，
即λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，得λ≤-1．
又g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，∴g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1，
又g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，故只需-λ-sin1≤λ+3sin1恒成立，
得λ≥-2sin1，
由sin

π

6

=

1

2

＜sin1，得1＜2sin1，∴-2sin1＜-1，
故-2sin1≤λ≤-1．
∴λ的取值范圍是[-2sin1，-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在解決恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬中高檔題．