Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的不等式[f（x）]²+af（x）-b²＜0恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的最大值是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 5
• D． 8

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$的圖象，對b，a分類討論，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結(jié)合即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$，如圖所示，
①當(dāng)b=0時(shí)，[f（x）]²+af（x）-b²＜0化為[f（x）]²+af（x）＜0，
當(dāng)a＞0時(shí)，-a＜f（x）＜0，
由于關(guān)于x的不等式[f（x）]²+af（x）-b²＜0恰有1個(gè)整數(shù)解，
因此其整數(shù)解為3，又f（3）=-9+6=-3，
∴-a＜-3＜0，-a≥f（4）=-8，
則8≥a＞3，
a≤0不必考慮．
②當(dāng)b≠0時(shí)，對于[f（x）]²+af（x）-b²＜0，
△=a²+4b²＞0，
解得：$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4^{2}}}{2}$＜f（x）＜$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4^{2}}}{2}$，
只考慮a＞0，
則$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4^{2}}}{2}$＜0＜$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4^{2}}}{2}$，
由于f（x）=0時(shí)，不等式的解集中含有多于一個(gè)整數(shù)解（例如，0，2），舍去．
綜上可得：a的最大值為8．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次不等式的解法、二次函數(shù)的圖象，考查了分類討論方法、數(shù)形結(jié)合方法與計(jì)算能力，屬于中檔題．