Question

設(shè)點(diǎn)P為雙曲線x²-

y2

12

=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若△PF₁F₂ 的面積為12，則∠F₁PF₂等于（　�。�

• A、

  π

  4

• B、

  π

  3

• C、

  π

  2

• D、

  2π

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,解三角形,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由雙曲線方程算出焦距|F₁F₂|=2

13

，根據(jù)雙曲線定義得到||PF₁|-|PF₂||=2．然后在△PF₁F₂中運(yùn)用余弦定理，得出關(guān)于|PF₁|、|PF₂|和cos∠F₁PF₂的式子；而△PF₁F₂的面積為12，得到|PF₁|、|PF₂|和sin∠F₁PF₂的另一個(gè)式子．兩式聯(lián)解即可得到∠F₁PF₂的大�。�

解答： 解：∵雙曲線方程為x²-

y2

12

=1，
∴c²=a²+b²=13，可得雙曲線的左焦點(diǎn)F₁（-

13

，0），右焦點(diǎn)F₂（

13

，0）
根據(jù)雙曲線的定義，得||PF₁|-|PF₂||=2a=2
∴由余弦定理，得|F₁F₂|²=（|PF₁|-|PF₂|）²+（2-2cos∠F₁PF₂）|PF₁|•|PF₂|，
即：52=4+（2-2cos∠F₁PF₂）|PF₁|•|PF₂|，
可得|PF₁|•|PF₂|=

48

2-2cos∠F1PF2

又∵△PF₁F₂的面積為12，
∴

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin∠F₁PF₂=12，即

24sin∠F1PF2

2-2cos∠F1PF2

=12
結(jié)合sin²∠F₁PF₂+cos²∠F₁PF₂=1，
解之得sin∠F₁PF₂=1且cos∠F₁PF₂=0，
∴∠F₁PF₂等于

π

2

故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線上一點(diǎn)P與雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂構(gòu)成的三角形面積，求∠F₁PF₂的大小，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．