Question

7．設f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，f_n（-1）=（-1）ⁿ•n（n∈N^*），則f_n（$\frac{1}{3}$）與1的大小為（　　）

• A． f_n（$\frac{1}{3}$）＞1
• B． f_n（$\frac{1}{3}$）=1
• C． f_n（$\frac{1}{3}$）＜1
• D． 與n的大小有關

Answer 1

分析 求出函數(shù)的解析式，利用錯位相減法，求出f_n（$\frac{1}{3}$），即可得出結論．

解答 解：由已知f₁（-1）=-a₁=-1，所以a₁=1
f₂（-1）=-a₁+a₂=2，所以a₂=3，
f₃（-1）=-a₁+a₂-a₃=-3，所以a₃=5
∵（-1）ⁿ⁺¹•a_n+1=f_n+1（-1）-f_n（-1）=（-1）ⁿ⁺¹•（n+1）-（-1）ⁿ•n
∴a_n+1=（n+1）+n
即a_n+1=2n+1
所以對于任意的n=1，2，3，a_n=2n-1，
∴f_n（x）=x+3x²+5x³+…+（2n-1）xⁿ
∴f_n（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{3}$+3（$\frac{1}{3}$）²+5（$\frac{1}{3}$）³+…+（2n-1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ           ①
$\frac{1}{3}$f_n（$\frac{1}{3}$）=（$\frac{1}{3}$）²+3（$\frac{1}{3}$）³+5（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（2n-1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹   ②
①─②，得
$\frac{2}{3}$f_n（$\frac{1}{3}$）=（$\frac{1}{3}$）+2（$\frac{1}{3}$）³+2（$\frac{1}{3}$）⁴+…+2（$\frac{1}{3}$）ⁿ-（2n-1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
=$\frac{2}{3}$-$\frac{2n-2}{3}$（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴f_n（$\frac{1}{3}$）=1-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$
又n=1，2，3，故f_n（$\frac{1}{3}$）＜1．

點評 本題考查數(shù)列的通項與求和，考查錯位相減法的運用，考查學生的計算能力，確定數(shù)列的通項，正確求和是關鍵．