Question

16．已知二次函數(shù)y=ax²+1的圖象為拋物線C，過頂點A（0，1）的直線l與拋物線C相交于另外一點P，點Q為拋物線C上另外一點，且點M（0，m）到直線l的距離為1．
（Ⅰ）若直線l的斜率為k，且|k|∈[$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$\sqrt{3}}$]，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)m=$\sqrt{2}$+1時，△APQ的內(nèi)心恰好是點M，求此二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （I）直線l的方程為：y=kx+1．由點M（0，m）到直線l的距離為1，可得$\frac{|-m+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，根據(jù)|k|∈[$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$\sqrt{3}}$]，可得$\sqrt{1+{k}^{2}}$∈$[\frac{2\sqrt{3}}{3}，2]$．即可得出．
（II）m=$\sqrt{2}$+1時，k=±1．由對稱性不妨取k=1時，y=x+1，與拋物線方程聯(lián)立化為：ax²=x，x≠0，解得x，P$（\frac{1}{a}，\frac{1}{a}+1）$．由于△APQ的內(nèi)心恰好是點M，利用拋物線的對稱性可得Q$（-\frac{1}{a}，\frac{1}{a}+1）$．由三角形內(nèi)心的性質(zhì)及其已知可得：$\frac{1}{a}$+1-（$\sqrt{2}$+1）=1，解得a．

解答 解：（I）直線l的方程為：y=kx+1．∵點M（0，m）到直線l的距離為1，∴$\frac{|-m+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
∴|m-1|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
∵|k|∈[$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$\sqrt{3}}$]，∴$\sqrt{1+{k}^{2}}$∈$[\frac{2\sqrt{3}}{3}，2]$．
∴|m-1|∈$[\frac{2\sqrt{3}}{3}，2]$．
∴m∈$[\frac{3+2\sqrt{3}}{3}，3]$∪$[-1，\frac{3-2\sqrt{3}}{3}]$．
（II）m=$\sqrt{2}$+1時，k=±1．
由對稱性不妨取k=1時，y=x+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=a{x}^{2}+1}\end{array}\right.$，化為：ax²=x，x≠0，解得x=$\frac{1}{a}$．∴y_P=$\frac{1}{a}$+1，P$（\frac{1}{a}，\frac{1}{a}+1）$．
∵△APQ的內(nèi)心恰好是點M，利用拋物線的對稱性可得Q$（-\frac{1}{a}，\frac{1}{a}+1）$．
由三角形內(nèi)心的性質(zhì)及其已知可得：$\frac{1}{a}$+1-（$\sqrt{2}$+1）=1，解得a=$\sqrt{2}$-1．
∴此二次函數(shù)的解析式為y=（$\sqrt{2}$-1）x²+1．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、點到直線的距離公式、三角形內(nèi)心的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．