Question

若xyz≠0，x+y+z≠0，且

y+z

x

=

z+x

y

=

x+y

z

，
（1）求

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

；
（2）若去掉條件x+y+z≠0，結(jié)果如何？

Answer 1

考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修）

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用合比定理可知

y+z

x

=

z+x

y

=

x+y

z

=2，從而易得

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

=8；
（2）若去掉條件x+y+z≠0，需分類討論：①當(dāng)x+y+z≠0時(shí)與②x+y+z=0時(shí)，分別計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵xyz≠0，x+y+z≠0，且

y+z

x

=

z+x

y

=

x+y

z

，
∵

y+z

x

=

z+x

y

=

x+y

z

=

(y+z)+(z+x)+(x+y)

x+y+z

=

2(x+y+z)

x+y+z

=2，
∴y+z=2x，z+x=2y，x+y=2z，
∴

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

=

8xyz

xyz

=8；
（2）若去掉條件x+y+z≠0，需分類討論：
①當(dāng)x+y+z≠0時(shí)，結(jié)果同上，

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

=8；
②x+y+z=0時(shí)，y+z=-x，z+x=-y，x+y=-z，
∴

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

=

(-x)•(-y)•(-z)

xyz

=-1；
∴

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

的值為8或1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查綜合法的應(yīng)用，突出考查合比定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．