Question

18．已知g（x）是各項系數(shù)均為整數(shù)的多項式，f（x）=2x²-x+1，且滿足f（g（x））=2x⁴+4x³+13x²+11x+16，則g（x）的各項系數(shù)之和為5．

Answer 1

分析 先g（x）=x²+ax+b，進(jìn)而可知g（x）的各項系數(shù)和為1+a+b=g（1），根據(jù)題意根據(jù)2[g（1）]²-g（1）-45=0求得g（1），則答案可得．

解答 解：f（g（x））=2[g（x）]²-g（x）+1=2x⁴+4x³+13x²+11x+16，
依題意，可設(shè)g（x）=x²+ax+b，
∴g（x）的各項系數(shù)和為1+a+b=g（1）；而2[g（1）]²-g（1）+1=2•1⁴+4•1³+13•1²+11•1+16，
∴2[g（1）]²-g（1）-45=0．
∴g（1）=-$\frac{9}{2}$或5
∵g（x）是各項系數(shù)均為整數(shù)的多項式，故g（1）不可能是分?jǐn)?shù)，舍去-$\frac{9}{2}$，
∴g（1）=5，
∴g（x）的各項系數(shù)之和為5．
故答案為：5

點評 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一條主線，因而在高考中占有極其重要的地位．本題是函數(shù)符號運(yùn)用的綜合題，需要學(xué)生具有一定的探究和想象能力．