Question

20．設(shè)F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，且|PF₁|=$\sqrt{3}$|PF₂|，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合直角三角形的性質(zhì)建立方程關(guān)系進行求解即可．

解答 解：∵雙曲線右支上存在一點P，使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
∵|PF₁|=$\sqrt{3}$|PF₂|，
∴|F₁F₂|=2|PF₂|=4c，即|PF₂|=2c
∴|PF₁|-|PF₂|=$\sqrt{3}$|PF₂|-|PF₂|=（$\sqrt{3}$-1）|PF₂|=2a，
∵|PF₂|=2c
∴2（$\sqrt{3}$-1）c=2a，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故選：C

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)向量垂直的等價條件結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系以及雙曲線的定義是解決本題的關(guān)鍵．