Question

20．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的右焦點(diǎn)為F，雙曲線(xiàn)${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的一條漸近線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且
AF⊥BF，則橢圓C的離心率為$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 求得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，代入橢圓方程，求得A，B的坐標(biāo)，再由直角三角形的斜邊的中線(xiàn)為斜邊的一半，化簡(jiǎn)整理，由離心率公式解方程即可得到所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線(xiàn)${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的一條漸近線(xiàn)為y=$\sqrt{3}$x，
代入橢圓方程，可得x²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}+3{a}^{2}}$，
即有A（$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+3{a}^{2}}}$，$\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{^{2}+3{a}^{2}}}$），B（-$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+3{a}^{2}}}$，-$\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{^{2}+3{a}^{2}}}$），
由AF⊥BF可得，|OF|=$\frac{1}{2}$|AB|，
即為c=$\frac{2ab}{\sqrt{^{2}+3{a}^{2}}}$，即c²（4a²-c²）=4a²（a²-c²），
即c⁴-8a²c²+4a⁴=0，
即有e⁴-8e²+4=0，解得e²=4-2$\sqrt{3}$（4+2$\sqrt{3}$舍去），
即有e=$\sqrt{3}$-1．
故答案為：$\sqrt{3}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．