Question

15．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$的左、右焦點為F₁、F₂，點F₁關(guān)于直線y=-x的對稱點P仍在橢圓上，則△PF₁F₂的周長為2$\sqrt{2}$+2．

Answer 1

分析 設(shè)出橢圓的左焦點，關(guān)于直線y=-x的對稱點P（m，n），由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及中點坐標(biāo)公式解得m=0，n=c，由橢圓方程可得b=c=1，進而得到a的值，再由橢圓的定義可得周長為2a+2c．

解答 解：設(shè)橢圓的左焦點為（-c，0），
點F₁關(guān)于直線y=-x的對稱點P（m，n），
由$\frac{n-0}{m+c}$=1，$\frac{n}{2}$=-$\frac{m-c}{2}$，解得m=0，n=c，
即P（0，c），
由題意方程可得b=c=1，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
由題意的定義可得△PF₁F₂的周長為2a+2c=2$\sqrt{2}$+2．
故答案為：2$\sqrt{2}$+2．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查點關(guān)于直線對稱的條件，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．