Question

8．在盒子里有大小相同，僅顏色不同的乒乓球共10個，其中紅球4個，白球3個，藍球3個．現(xiàn)從中任取出一球確定顏色后放回盒子里，再取下一個球．重復以上操作，最多取3次，過程中如果取出藍色球則不再取球．求：
（Ⅰ）最多取兩次就結(jié)束的概率；
（Ⅱ）整個過程中恰好取到2個白球的概率；
（Ⅲ）設(shè)取球的次數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)取球的次數(shù)為ξ，最多取兩次就結(jié)束的概率P₁=P（ξ=1）+P（ξ=2），由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）由題意可知，可以如下取球：紅白白，白紅白，白白紅，白白藍，由此能求出恰好取到2個白球的概率．
（Ⅲ）隨機變量X的取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設(shè)取球的次數(shù)為ξ，
則P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$=$\frac{3}{10}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{1}}×\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$=$\frac{21}{100}$，
所以最多取兩次就結(jié)束的概率P₁=P（ξ=1）+P（ξ=2）=$\frac{51}{100}$．…（4分）
（Ⅱ）由題意可知，可以如下取球：紅白白，白紅白，白白紅，白白藍，
所以恰好取到2個白球的概率：
P₂=$\frac{4}{10}×\frac{3}{10}×\frac{3}{10}$×3+$\frac{3}{10}×\frac{3}{10}×\frac{3}{10}$=$\frac{135}{1000}$=$\frac{27}{200}$．…（8分）
（Ⅲ）隨機變量X的取值為1，2，3  …（9分）
P（X=1）=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{7}{10}×\frac{3}{10}$=$\frac{21}{100}$，
P（X=3）=$\frac{7}{10}×\frac{7}{10}×（\frac{3}{10}+\frac{7}{10}）$=$\frac{49}{100}$，…（12分）
隨機變量X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{21}{100}$	$\frac{49}{100}$

X的數(shù)學期望是$1×\frac{3}{10}+2×\frac{21}{100}+3×\frac{49}{100}$=$\frac{219}{100}$．…（13分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．