【題目】已知A，B分別為橢圓C： + =1（a＞b＞0）在x軸正半軸，y軸正半軸上的頂點，原點O到直線AB的距離為 ，且|AB|= ．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）直線l：y=kx+m（﹣1≤k≤2）與圓x2+y2=2相切，并與橢圓C交于M，N兩點，求|MN|的取值范圍．

【答案】
（1）解：由丨AB丨= = ， = ，

解得：a=2，b= ，c=1

則橢圓離心率e= =


（2）解：由（1）可知：橢圓的標準方程： ，設A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ，整理得：（3k2+4）x2+6kmx+3m2﹣12=0，

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

由直線l與圓x2+y2=2相切，則 = ，則m2=2（k2+1），

則丨MN丨= = ，

= ，

令3k2+4=t，t∈[4，16]，則丨MN丨= = ，

由 ≤ ≤ ，

∴f（ ）= ，在[ ， ]單調遞增，

則 ≤丨MN丨≤ ，

∴|MN|的取值范圍[ ， ]


【解析】（1）由題意，利用點到直線的距離公式，即可求得a和b的值，利用橢圓的離心率公式，即可求得橢圓C的離心率；（2）利用點到直線的距離公式，m2=2（k2+1），將直線方程代入橢圓方程，根據韋達定理，弦長公式及二次函數(shù)的單調性即可求得|MN|的取值范圍．

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【題目】△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則： ①若cosBcosC＞sinBsinC，則△ABC一定是鈍角三角形；
②若acosA=bcosB，則△ABC為等腰三角形；
③ ， ，若 ，則△ABC為銳角三角形；
④若O為△ABC的外心， ；
⑤若sin2A+sin2B=sin2C， ，
以上敘述正確的序號是 ．

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【題目】若執(zhí)行右側的程序框圖，當輸入的x的值為4時，輸出的y的值為2，則空白判斷框中的條件可能為（ ）
A.x＞3
B.x＞4
C.x≤4
D.x≤5

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【題目】設橢圓C： + =1（a＞b＞0），定義橢圓的“伴隨圓”方程為x2+y2=a2+b2；若拋物線x2=4y的焦點與橢圓C的一個短軸重合，且橢圓C的離心率為 ．
（1）求橢圓C的方程和“伴隨圓”E的方程；
（2）過“伴隨圓”E上任意一點P作橢圓C的兩條切線PA，PB，A，B為切點，延長PA與“伴隨圓”E交于點Q，O為坐標原點．
①證明：PA⊥PB；
②若直線OP，OQ的斜率存在，設其分別為k1 ， k2 ， 試判斷k1k2是否為定值，若是，求出該值；若不是，請說明理由．

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【題目】如圖，P（x0 ， y0）是橢圓 +y2=1的上的點，l是橢圓在點P處的切線，O是坐標原點，OQ∥l與橢圓的一個交點是Q，P，Q都在x軸上方

（1）當P點坐標為（ ， ）時，利用題后定理寫出l的方程，并驗證l確定是橢圓的切線；
（2）當點P在第一象限運動時（可以直接應用定理）
①求△OPQ的面積
②求直線PQ在y軸上的截距的取值范圍．
定理：若點（x0 ， y0）在橢圓 +y2=1上，則橢圓在該點處的切線方程為 +y0y=1．

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【題目】直線mx+ny=1與圓x2+y2=4的交點為整點（橫縱坐標均為正數(shù)的點），這樣的直線的條數(shù)是（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8

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