【題目】已知為圓上的動(dòng)點(diǎn), 的坐標(biāo)為, 在線段的中點(diǎn).
(Ⅰ)求的軌跡的方程.
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn),且,求直線的方程.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) 或.
【解析】試題分析:
(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,A,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,利用相關(guān)點(diǎn)法計(jì)算可得點(diǎn)的軌跡的方程為.
(Ⅱ)由題意可得原點(diǎn)到直線的距離.分類(lèi)討論:
若斜率不存在,直線的方程為,此時(shí)符合題意;
若斜率存在時(shí),由題意可得關(guān)于實(shí)數(shù)k的方程,則,直線的方程為.
綜上可得直線的方程為或.
試題解析:
(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,
依題意得,
解得,
又,所以,即
所以點(diǎn)的軌跡的方程為.
(Ⅱ)因?yàn)橹本與曲線交于兩點(diǎn),且,
所以原點(diǎn)到直線的距離.
若斜率不存在,直線的方程為,此時(shí)符合題意;
若斜率存在,設(shè)直線的方程為,即,
則原點(diǎn)到直線的距離,解得,
此時(shí)直線的方程為
所以直線的方程為或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,離心率為.過(guò)定點(diǎn)的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn), (點(diǎn)在點(diǎn), 之間).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若射線交橢圓于點(diǎn)(為原點(diǎn)),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[2019·朝鮮中學(xué)]在如圖所示的程序框圖中,有這樣一個(gè)執(zhí)行框,其中的函數(shù)關(guān)系式為,程序框圖中的為函數(shù)的定義域.
(1)若輸入,請(qǐng)寫(xiě)出輸出的所有的值;
(2)若輸出的所有都相等,試求輸入的初始值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直四棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2, 為中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)若,求平面與平面所成銳二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知圓的方程為,過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),設(shè),求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)且與定直線相切,動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)已知斜率為的直線交軸于點(diǎn),且與曲線相切于點(diǎn),設(shè)的中點(diǎn)為(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)).求證:直線的斜率為0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為, ,且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)的頂點(diǎn)都在橢圓上,其中關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),試問(wèn)能否為正三角形?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓的經(jīng)過(guò)中心的弦稱(chēng)為橢圓的一條直徑,平行于該直徑的所有弦的中點(diǎn)的軌跡為一條線段,稱(chēng)為該直徑的共軛直徑,已知橢圓的方程為.
(1)若一條直徑的斜率為,求該直徑的共軛直徑所在的直線方程;
(2)若橢圓的兩條共軛直徑為和,它們的斜率分別為,證明:四邊形的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3) ,B(4,2),且圓心在直線l:x-y-1=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)P是圓D:x2+y2+8x-2y+16=0上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線PM,PN,M,N為切點(diǎn),試求四邊形PMCN面積S的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo).
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