Question

14．已知二次函數(shù)y=x²-2ax+3，x∈[-1，1]，設(shè)最大值為g（a），最小值為h（a）．
（1）求g（a）．
（2）求h（a）．
（3）設(shè)a∈[0，1]，若對(duì)任意的g（a），h（a），不等式g（a）log₂m+2h（a）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分當(dāng)a≤0時(shí)和當(dāng)a＞0時(shí)兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得g（a）的表達(dá)式；
（2）分當(dāng)a≤-1時(shí)，當(dāng)-1＜a＜1時(shí)和當(dāng)當(dāng)a≥1時(shí)三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得h（a）的表達(dá)式；
（3）結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，可得log₂m≤$\frac{{a}^{2}-3}{a+2}$，a∈[0，1]，恒成立，利用構(gòu)造法，求出v（a）=$\frac{{a}^{2}-3}{a+2}$的最小值，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=x²-2ax+3的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=a為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線，x∈[-1，1]，
當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)在x=1時(shí)取最大值，此時(shí)g（a）=-2a+4，
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)在x=-1時(shí)取最大值，此時(shí)g（a）=2a+4，
綜上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}-2a+4，a≤0\\ 2a+4，a＞0\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)a≤-1時(shí)，函數(shù)在x=-1時(shí)取最小值，此時(shí)h（a）=2a+4，
當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，函數(shù)在x=a時(shí)取最小值，此時(shí)h（a）=-a²+3，
當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)在x=1時(shí)取最小值，此時(shí)h（a）=-2a+4，
綜上所述，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}2a+4，a≤-1\\-{a}^{2}+3，-1＜a＜1\\-2a+4，a≥1\end{array}\right.$，
（3）設(shè)a∈[0，1]，則g（a）=2a+4，h（a）=-a²+3，
不等式g（a）log₂m+2h（a）≤0可化為：（2a+4）log₂m+2（-a²+3）≤0，
即log₂m≤$\frac{{a}^{2}-3}{a+2}$，a∈[0，1]，恒成立，
令v（a）=$\frac{{a}^{2}-3}{a+2}$，則v′（a）=$\frac{{a}^{2}+4a+3}{（a+2）^{2}}$＞0恒成立，
故當(dāng)a=0時(shí)，v（a）=$\frac{{a}^{2}-3}{a+2}$取最小值-$\frac{3}{2}$，
故log₂m≤-$\frac{3}{2}$，
故m∈（0，$\frac{\root{3}{2}}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．