Question

5．已知函數(shù)f（x）=λcos²（ωx+$\frac{π}{6}$）-3（λ＞0，ω＞0）的最大值為2，最小正周期為$\frac{2π}{3}$．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=$\frac{λ}{2}$cos（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{λ}{2}$-3，利用最大值為2，可得$\frac{λ}{2}$+$\frac{λ}{2}$-3=2，解得λ，利用周期公式可求ω，即可得解函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）由x的范圍，可求范圍$3x+\frac{π}{3}∈[{\frac{π}{3}，\frac{11π}{6}}]$，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)f（x）的值域．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）∵f（x）=λcos²（ωx+$\frac{π}{6}$）-3（λ＞0，ω＞0）
=λ$\frac{1+cos（2ωx+\frac{π}{3}）}{2}$-3
=$\frac{λ}{2}$cos（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{λ}{2}$-3，…（2分）
又∵函數(shù)f（x）的最大值為2，可得：$\frac{λ}{2}$+$\frac{λ}{2}$-3=2，解得：λ=5，
最小正周期為$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{2ω}$，解得：ω=$\frac{3}{2}$，
∴f（x）=$\frac{5}{2}$cos（3x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$…（6分）
（2）∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴$3x+\frac{π}{3}∈[{\frac{π}{3}，\frac{11π}{6}}]$，…（9分）
∴$cos（3x+\frac{π}{3}）∈[{-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$，…（13分）
∴$f（x）∈[{-3，\frac{{5\sqrt{3}-2}}{4}}]$，
所以f（x）的值域是$[{-3，\frac{{5\sqrt{3}-2}}{4}}]$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．