Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)y=f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足c=2，a=3，f（B）=0，求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，結(jié)合x的范圍，可求$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)y=f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．
（2）由已知可求sin（2B-$\frac{π}{6}$）=1，結(jié)合B的范圍，可求2B-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$），可求B的值，利用余弦定理可求AC的值，進而利用正弦定理即可得解sinA的值．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cosx-1=sin（2x-\frac{π}{6}）-1$，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，
∴$f（x）∈[-\frac{3}{2}，0]$，
∴y=f（x）的最大值為0，最小值為$-\frac{3}{2}$．
（2）∵f（B）=0，即sin（2B-$\frac{π}{6}$）=1，
又∵B∈（0，π），2B-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$），
∴2B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得：B=$\frac{π}{3}$，
又∵在△ABC中，由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$=4+9-2×$2×3×\frac{1}{2}$=7，
∴AC=$\sqrt{7}$，
∵由正弦定理得：$\frac{sinB}=\frac{a}{sinA}$，即$\frac{{\sqrt{7}}}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{3}{sinA}$，
∴$sinA=\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)，余弦定理，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．