Question

7．如圖甲，在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC上一點(diǎn)，且EF∥BC，EF=2a，沿EF將三角形AEF折起，使得平面AEF⊥平面EFCB，形成一個(gè)如圖乙所示的四棱錐，設(shè)O為EF的中點(diǎn)．
（1）求證：AO⊥BE；
（2）求二面角F-AE-B的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AO⊥EF，AO⊥平面EFCB，由此能證明AO⊥BE．
（Ⅱ）取CB的中點(diǎn)D，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)E，OD，OA為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角F-AE-B的正弦值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）∵△AEF為等邊三角形，O為EF的中點(diǎn)，
∴AO⊥EF．
∵平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面EFCB=EF，AO?平面AEF，
∴AO⊥平面EFCB，又BE?平面EFCB，
∴AO⊥BE． …（4分）
解：（Ⅱ）如圖，取CB的中點(diǎn)D，連接OD，
以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)E，OD，OA為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則$A（0，\;\;0，\;\;\sqrt{3}a），\;\;E（a，\;\;0，\;\;0），\;\;B（2，\;\;2\sqrt{3}-\sqrt{3}a，\;\;0）$，
∴$\overrightarrow{AE}=（a，\;\;0，\;\;-\sqrt{3}a），\;\;\overrightarrow{EB}=（2-a，\;\;2\sqrt{3}-\sqrt{3}a，\;\;0）$．
設(shè)平面AEB的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（x，\;\;y，\;\;z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow n_1}•\overrightarrow{AE}=ax-\sqrt{3}az=0\\{\overrightarrow n_1}•\overrightarrow{EB}=（2-a）x+（2\sqrt{3}-\sqrt{3}a）y=0\end{array}\right.$，
令$z=\sqrt{3}$，則$x=3，\;\;y=-\sqrt{3}$，$\overrightarrow{n_1}=（3，\;\;-\sqrt{3}，\;\;\sqrt{3}）$，
平面AEF的法向量為$\overrightarrow{n_2}=（0，\;\;1，\;\;0）$，
∴$cos?\overrightarrow{n_1}，\;\;\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{{-\sqrt{3}}}{{\sqrt{15}}}=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴二面角F-AE-B的正弦值為$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．