Question

13．在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，PA=AB=2CD=4，$PB=2AD=4\sqrt{2}$，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角A-PC-D的余弦值；
（3）設(shè)點(diǎn)Q為線段PB上一點(diǎn)，且直線QC與平面PAC所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求$\frac{PQ}{PB}$的值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{PC}$的坐標(biāo)，通過計(jì)算數(shù)量積證明BD⊥AP，BD⊥PC，于是BD⊥平面PAC；
（2）求出平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$，計(jì)算cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BD}$＞，于是二面角A-PC-D的余弦值等于cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BD}$＞；
（3）設(shè)$\overrightarrow{PQ}=λ\overrightarrow{PB}$，求出$\overrightarrow{QC}$的坐標(biāo)，則|cos＜$\overrightarrow{QC}$，$\overrightarrow{BD}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．解方程得出λ即$\frac{PQ}{PB}$的值．

解答 證明：（1）∵$PA=4，AB=4，PB=4\sqrt{2}$，
∴PA²+AB²=PB²，即PA⊥AB，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA?平面PAB，
∴PA⊥平面ABCD，又∵AB⊥AD，
∴AB，AD，PA兩兩垂直，
以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），$B（4，0，0），C（2，2\sqrt{2}，0），D（0，2\sqrt{2}，0），P（0，0，4）$
∴$\overrightarrow{BD}=（-4，2\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{PC}=（2，2\sqrt{2}，-4）$，$\overrightarrow{AP}$=（0，0，4）．
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{PC}=0$，$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AP}$=0，
∴BD⊥PC，BD⊥AP，
又PA?平面PAC，PC?平面PAC，PA∩PC=P，
∴BD⊥平面PAC．
（2）∵BD⊥平面PAC，∴$\overrightarrow{BD}$是平面PAC的一個(gè)法向量，
$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0），設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{CD}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+2\sqrt{2}y-4z=0}\\{-2x=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}$，1），
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}$=4，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{BD}$|=2$\sqrt{6}$，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴二面角A-PC-D的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（3）$\overrightarrow{PB}$=（4，0，-4），設(shè)$\overrightarrow{PQ}=λ\overrightarrow{PB}$=（4λ，0，-4λ），則$\overrightarrow{QC}$=$\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PQ}$=（2-4λ，2$\sqrt{2}$，4λ-4）．
∴$\overrightarrow{QC}•\overrightarrow{BD}$=16λ-8+8=16λ．|$\overrightarrow{QC}$|=2$\sqrt{8{λ}^{2}-12λ+7}$．
∵直線QC與平面PAC所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{QC}，\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{\overrightarrow{QC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{QC}||\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{16λ}{2\sqrt{8{λ}^{2}-12λ+7}•2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得λ=$\frac{7}{12}$．
∴$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{7}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，空間角的計(jì)算，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．