Question

3．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費x_i和年銷售量y_i（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．

$\overrightarrow x$	$\overrightarrow y$	$\overrightarrow w$	$\sum_{i=1}^8{\;}$（x1-$\overrightarrow x$）2	$\sum_{i=1}^8{\;}$（w1-$\overrightarrow w$）2	$\sum_{i=1}^8{\;}$（x1-$\overrightarrow x$）（y-$\overrightarrow y$）	$\sum_{i=1}^8{\;}$（w1-$\overrightarrow w$）（y-$\overrightarrow y$）
46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中${w_i}=\sqrt{x_i}$，$\overrightarrow w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^8{w_i}$
（Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d$\sqrt{x}$哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（Ⅲ）以知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x．根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答
當年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？
附：對于一組數(shù)據(jù)（u₁ v₁），（u₂ v₂）…..（u_n v_n），其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：$\widehatβ=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{v_i}-\overline v）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}，\widehatα=\overline v-\widehatβ\overline u$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)散點圖的分布情況即可判斷出正相關(guān)；
（Ⅱ）令w=$\sqrt{x}$，求出y關(guān)于w的線性回歸方程，再轉(zhuǎn)化為y關(guān)于x的回歸方程；
（Ⅲ）把x=49時代入到回歸方程，計算即可．

解答 解：（Ⅰ）由散點圖可以判斷，y=c+d$\sqrt{x}$適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型．
（Ⅱ）令w=$\sqrt{x}$，則y=c+dw，
∴d=$\frac{108.8}{1.6}$=68，c=56.3-68×6.8=100.6，
∴y關(guān)于w的線性回歸方程為y=100.6+68w，
∴y關(guān)于x的回歸方程為y=100.6+68$\sqrt{x}$，
（Ⅲ）當x=49時，年銷售量y的預(yù)報值y=100.6+68$\sqrt{49}$=576.6．
年利潤z的預(yù)報值z=576.6×0.2-90=66.32．

點評 本題主要考查了線性回歸方程和散點圖的問題，準確的計算是本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．