Question

18．如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，AB⊥底面BEC，EC⊥CB，已知BC=2，AD=AB=EC=1．
（Ⅰ）證明：BD⊥面DEC；
（Ⅱ）求AE與平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{CD}$的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零證明BD⊥CE，BD⊥CD，故而得出BD⊥平面CDE；
（II）由（I）知$\overrightarrow{BD}$為平面CDE的一個(gè)法向量，則AE與平面CDE所成角的正弦值等于|cos＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AE}$＞|．

解答 （Ⅰ）證明：過C作AB的平行線CZ，則CZ⊥平面BCE，
∵BC⊥EC，CB，CE，CZ兩兩垂直，
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，如圖所示：
∵BC=2，AD=AB=EC=1．
∴B（2，0，0），C（0，0，0），D（1，0，1），E（0，1，0）．
∴$\overrightarrow{BD}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{CD}$=（1，0，1），$\overrightarrow{CE}$=（0，1，0）．
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{BD}$$•\overrightarrow{CE}$=0．
∴BD⊥CD，BD⊥CE，又CD?平面CDE，CE?平面CDE，CD∩CE=C，
∴BD⊥面DEC．
（Ⅱ）∵BD⊥平面CDE，∴$\overrightarrow{BD}$為平面CDE的一個(gè)法向量．
∵A（2，0，1），∴$\overrightarrow{AE}$=（-2，1，-1），
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$=1，|$\overrightarrow{AE}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴AE與平面CDE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，線面角的計(jì)算，多采用向量法來解決問題．