Question

8．觀察下列等式
l+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+l）；
l+3+6+…+$\frac{1}{2}$n（n+1）=$\frac{1}{6}$n（n+1）（n+2）；
1+4+10+…$\frac{1}{6}$n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{24}$n（n+1）（n+2）（n+3）；
可以推測(cè)，1+5+15+…+$\frac{1}{24}$n（n+1）（n+2）（n+3）=$\frac{1}{120}$n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N^*）．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中的等式，分析出第K個(gè)等式右邊系數(shù)和因式個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，歸納可得答案．

解答 解：根據(jù)已知中的等式：
l+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+l）；
l+3+6+…+$\frac{1}{2}$n（n+1）=$\frac{1}{6}$n（n+1）（n+2）；
1+4+10+…$\frac{1}{6}$n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{24}$n（n+1）（n+2）（n+3）；
歸納可得：第K個(gè)等式右邊系數(shù)的分母是K!，后面依次是從n開(kāi)始的K個(gè)連續(xù)整數(shù)的積，
故1+5+15+…+$\frac{1}{24}$n（n+1）（n+2）（n+3）=$\frac{1}{120}$n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N^*）
故答案為：$\frac{1}{120}$n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N^*）

點(diǎn)評(píng) 歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．