Question

已知函數(shù)f（x）=cos（

π

6

-2x）+cos（2x+

π

6

）+sin（2x+

π

3

）-sin（

π

3

-2x）．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的值域；
（2）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且f（A）=1，a=1，試求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，結(jié)合角的范圍，求出相位的范圍，然后求函數(shù)f（x）的值域；
（2）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且f（A）=1，a=1，利用余弦定理以及基本不等式化簡(jiǎn)推出△ABC的面積S的最大值即可．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）=cos（

π

6

-2x）+cos（2x+

π

6

）+sin（2x+

π

3

）-sin（

π

3

-2x）
=2sin（2x+

π

3

），
因?yàn)閇0，

π

2

]，所以2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，即f（x）的值域?yàn)閇-

3

，2]．
（2）由f（A）=2sin（2A+

π

3

）=1⇒A=

π

4

，又a=1，
由余弦定理及均值不等式可得，b²+c²-2bccosA=a²≥2bc（1-cosA）
⇒bc≤

1

2(1- 2 2 )

=1+

2

2

所以S=

1

2

bcsinA≤

1

2

•（1+

2

2

）•

2

2

=

2 +1

4

．
△ABC的面積S的最大值：

2 +1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力．