Question

（本大題滿分12分）設(shè)函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），

（1）當(dāng)=1時，求過點(diǎn)（1，）處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積；

（2）若在（0，1）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1），面積；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)處的切線方程，注意這個點(diǎn)的切點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率；（2）對于恒成立的問題，常用到兩個結(jié)論：（1，（2）；（3）利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式在區(qū)間上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)，其中一個重要的技巧就是找到函數(shù)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口，觀察式子的特點(diǎn)，找到特點(diǎn)證明不等式.

試題解析：（1）當(dāng)時,,,,,

函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為 ，即

設(shè)切線與軸的交點(diǎn)分別為A,B.

令得,令得,∴,

.

在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為 5分

（2）由得,

令, 8分

令, ,

∵,∴,在為減函數(shù) ，

∴ , 又∵, ∴

∴在為增函數(shù), , 因此只需 12分

考點(diǎn)：1、求曲線的切線方程；2、三角形的面積；3、恒成立的問題.