Question

11．如圖1，四邊形ABCD為正方形，延長DC至E，使得CE=2DC，將四邊形ABCD沿BC折起到A₁BCD₁的位置，使平面A₁BCD₁⊥平面BCE，如圖2．

（I）求證：CE⊥平面A₁BCD₁；
（II）求異面直線BD₁與A₁E所成角的大��；
（III）求平面BCE與平面A₁ED₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出CE⊥BC，CE⊥平面A₁BCD₁．
（Ⅱ）法一：連接A₁C．推導出A₁C⊥BD₁，CE⊥BD₁，從而BD₁⊥A₁E．由此能求出異面直線BD₁與A₁E所成的角．
法二：以C為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線BD₁與A₁E所成的角．
（Ⅲ） 求出平面BCE的法向量和平面A₁D₁E的法向量，利用向量法能求出平面BCE與平面A₁ED₁所成的銳二面角的余弦值．

解答 （本小題滿分14分）
證明：（Ⅰ）因為平面A₁BCD₁⊥平面BCE，且平面A₁BCD₁∩平面BCE=BC，
四邊形ABCD為正方形，E在DC的延長線上，
所以CE⊥BC．
因為CE?平面BCE，
所以CE⊥平面A₁BCD₁．…（4分）
解：（Ⅱ）法一：連接A₁C．因為A₁BCD₁是正方形，所以A₁C⊥BD₁．
因為CE⊥平面A₁BCD₁，所以CE⊥BD₁．
因為A₁C∩CE=C，所以BD₁⊥平面A₁CE．
所以BD₁⊥A₁E．
所以異面直線BD₁與A₁E所成的角是90°．…（9分）
法二：以C為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示．
設CD=1，則CE=2．
則C（0，0，0），B（1，0，0），E（0，2，0），D₁（0，0，1），A₁（1，0，1）．
所以${\overrightarrow{BD}_1}=（-1，0，1），\overrightarrow{{A_1}E}=（-1，2，-1）$．
因為$cos＜\overrightarrow{B{D_1}}，\overrightarrow{{A_1}E}＞=\frac{{\overrightarrow{B{D_1}}•\overrightarrow{{A_1}E}}}{{|{\overrightarrow{B{D_1}}}||{\overrightarrow{{A_1}E}}|}}=\frac{1+0-1}{{\sqrt{2}×\sqrt{6}}}=0$，
所以$\overrightarrow{B{D_1}}⊥\overrightarrow{{A_1}E}$．
所以異面直線BD₁與A₁E所成的角是90°．…（9分）
（Ⅲ） 因為CD₁⊥平面BCE，所以平面BCE的法向量$\overrightarrow{C{D_1}}=（0，0，1）$．
設平面A₁D₁E的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$．
因為$\overrightarrow{{D_1}{A_1}}=（1，0，0），\overrightarrow{{D_1}E}=（0，2，-1）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{{D_1}{A_1}}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{{D_1}E}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ 2y-z=0\end{array}\right.$．設y=1，則z=2．所以$\overrightarrow n=（0，1，2）$．
因為$cos＜\overrightarrow{C{D_1}}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{C{D_1}}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{C{D_1}}}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{0+0+2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
所以平面BCE與平面A₁ED₁所成的銳二面角的余弦值為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．…（14分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查異面直線所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．