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19.已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(0,-3),F(xiàn)2(0,3),離心率e=32,若點(diǎn)P在橢圓上,且PF1PF2=23,則∠F1PF2的大小為( �。�
A.π12B.π6C.π4D.π3

分析 由題意可設(shè)題意的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2a2+x22=1(a>b>0),可得:c=3,e=32=ca,a2=b2+c2,聯(lián)立解出可得:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y24+x2=1.設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,由橢圓定義可得m+n=4,由PF1PF2=23,可得mncos∠F1PF2=23,利用余弦定理可得:(2c)2=m2+n2-2mncos∠F1PF2,聯(lián)立即可得出.

解答 解:由題意可設(shè)題意的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2a2+x22=1(a>b>0),
則c=3,離心率e=32=ca,a2=b2+c2,聯(lián)立解得a=2,b=1.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y24+x2=1.
設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,
則m+n=4,
PF1PF2=23,∴mncos∠F1PF2=23,
又(2c)2=232=m2+n2-2mncos∠F1PF2
∴12=42-2mn-2×23,解得mn=43
43cos∠F1PF2=23,
∴cos∠F1PF2=12,
∴∠F1PF2=π3
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、余弦定理,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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①該函數(shù)的值域?yàn)閇-1,1];
②當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+π2(k∈Z)時(shí),該函數(shù)取得最大值;
③該函數(shù)是以為π最小正周期的周期函數(shù);
④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+π<x<2kπ+32π時(shí),f(x)<0,
上述命題中錯(cuò)誤的是①②③.

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