Question

8．（Ⅰ） 求證：$\sqrt{11}-2\sqrt{3}＞3-\sqrt{10}$；
（Ⅱ） 若a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)，求證：a²+b²+c²＞ab+bc+ca．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用分析法證明，兩邊平方，化簡(jiǎn)即可證得；
（Ⅱ）用分析法證明，兩邊同乘以2，化簡(jiǎn)即可證得

解答 解：（Ⅰ）要證$\sqrt{11}-2\sqrt{3}＞3-\sqrt{10}$，
只要證$\sqrt{11}$+$\sqrt{10}$＞$\sqrt{12}$+$\sqrt{9}$，
只要證（$\sqrt{11}$+$\sqrt{10}$）²＞（$\sqrt{12}$+$\sqrt{9}$）²，
只要證21+2$\sqrt{110}$＞21+2$\sqrt{108}$，
只要證$\sqrt{110}$＞$\sqrt{108}$，
只要證110＞108，顯然成立，
故$\sqrt{11}-2\sqrt{3}＞3-\sqrt{10}$；
（Ⅱ）要證a²+b²+c²＞ab+bc+ca，
只要證2a²+2b²+2c²＞2ab+2bc+2ca，
只要證2a²+2b²+2c²-2ab+2bc+2ca＞0，
只要證（a-c）²+（a-b）²+（b-c）²＞0
∴a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)，
∴（a-c）²+（a-b）²+（b-c）²＞0，
∴a²+b²+c²＞ab+bc+ca

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查分析法的運(yùn)用，屬于中檔題．