Question

6．橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成四邊形為菱形，若菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)，則橢圓離心率為（　�。�

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{3+\sqrt{5}}{8}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），直線AB的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，根據(jù)菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)，可得原點(diǎn)O到直線AB的距離=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=c，又b²=a²-c²，$\frac{c}{a}$=e，聯(lián)立化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），
直線AB的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，即bx+ay-ab=0，
∵菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)，
∴原點(diǎn)O到直線AB的距離=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=c，
化為a²b²=c²（a²+b²），又b²=a²-c²，$\frac{c}{a}$=e，
化為：e⁴-3e²+1=0，0＜e＜1．
解得e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、點(diǎn)到直線距離公式、內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．