Question

3．已知圓O：x²+y²=4和點(diǎn)M（1，a）．
（Ⅰ）若過點(diǎn)M有且只有一條直線與圓O相切，求正數(shù)a的值，并求出切線方程；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{2}$，過點(diǎn)M的圓的兩條弦AC，BD相互垂直，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若過點(diǎn)M的圓的切線只有一條，則M在圓上，根據(jù)條件即可求a的值及切線方程；
（Ⅱ）根據(jù)過點(diǎn)P的圓的兩條弦AC、BD互相垂直，得到AC、BD的方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由條件知點(diǎn)M在圓O上，所以1+a²=4，則$a=±\sqrt{3}$…（2分）
當(dāng)$a=\sqrt{3}$時(shí)，點(diǎn)M為$（1，\sqrt{3}）$，${k_{OM}}=\sqrt{3}$，${k_{切線}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
此時(shí)切線方程為$y-\sqrt{3}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-1）$，即$x+\sqrt{3}y-4=0$
當(dāng)$a=-\sqrt{3}$時(shí)，點(diǎn)M為$（1，-\sqrt{3}）$，${k_{OM}}=-\sqrt{3}$，${k_{切線}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
此時(shí)切線方程為$y+\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-1）$，即$x-\sqrt{3}y-4=0$
所以所求的切線方程為$x+\sqrt{3}y-4=0$或$x-\sqrt{3}y-4=0$．     …（6分）
（Ⅱ）設(shè)O到直線AC，BD的距離分別為d₁，d₂（d₁，d₂≥0），
則$d_1^2+d_2^2=O{M^2}=3$于是$|AC|=2\sqrt{4-d_1^2}，|BD|=2\sqrt{4-d_2^2}$${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}|AC|•|BD|=2\sqrt{4-d_1^2}\sqrt{4-d_2^2}≤4-d_1^2+4-d_2^2=8-3=5$…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)${d_1}={d_2}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$時(shí)取等號
即四邊形ABCD面積的最大值為5…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查圓的切線方程以及直線和圓的位置關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，有一點(diǎn)難度．